司法書士の永鳥です。

法律上、法定相続人が他の法定相続人に死亡の事実を通知する義務はないかも知れません。
ただ、相続人が数人あるときは、相続財産は、その共有に属します。
各共同相続人は、その相続分に応じて被相続人の権利義務を承継します。
ですから、あなたが勝手に夫の財産を処分することはできません。
事実上、連絡を取らない限り相続手続ができないでしょう。

相続人調査の費用は、相続財産に関する費用とは言えないかも知れません。
だとすれば、その財産の中から支出しない方がよいでしょう。